Giải bài tập trang 36 toán 11

     

Hướng dẫn giải, đáp án bài xích 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường gặp) – Chương 1: Hàm con số giác với phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Giải bài tập trang 36 toán 11

Bài 2. Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã mang đến là các nghiệm của nhì phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π cùng cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), cho nên phương trình sẽ cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình vẫn cho tương đương với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã cho rằng nghiệm của nhị phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình biến chuyển 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


Quảng cáo


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) thường thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã vì thế chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Xem thêm: Soạn Bài Vật Lý 7 Bài 1 Vật Lí 7: Nhận Biết Ánh Sáng Nguồn Sáng Và Vật Sáng

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) cố gắng 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã đến trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) rứa sin2x = 2sinxcosx ;


Quảng cáo


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) buộc phải phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Chảy (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Tung x + tan (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác

Chỉ buộc phải thực hiên nhị phép đổi khác tương đương: dịch số hạng không chứa x sang trọng vế buộc phải và thay đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một số trong những khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

Đặt hàm số lượng giác cất ẩn phụ ta gửi được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc nhì này. Ví như phương trình bậc hai tất cả nghiệm thì cầm cố giá trị của nghiệm tìm kiếm được trở lại phép để ta sẽ tiến hành một phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ nên xét trường phù hợp cả hai thông số a, b gần như khác 0 (trường hợp 1 trong các hai hệ số đó bởi 0 thì phương trình cần giải là hpuwong trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã biết phương pháp giải.

Cách 1: phân tách hai vế phương trình mang lại

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo bởi vì chiều dương của trục hoành với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở thành một phương trình đã hiểu cách thức giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng
*
, phương trình biến hóa :
*

Phương trình này đã hiểu cách thức giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, đk cần với đủ là

*

Đó cũng là điều kiện cần với đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c gồm nghiệm.

Xem thêm: Thời Tiết Do Gió Phơn Tây Nam Mang Lại Là Gì? Định Nghĩa, Khái Niệm

Phương pháp giải những phương trình gửi được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Hệ thống những công thức lượng giác rất phong phú và đa dạng nên những phương trình lượng giác cũng khá đa dạng. Sử dụng thành thạo những phép thay đổi lượng giác các em có thể đưa các phương trình bắt buộc giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc hai đối với cosx với sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể đem đến dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự đa dạng chủng loại và phong phú và đa dạng ấy nên cửa hàng chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa cách thức giải thông qua một số trong những ví dụ điển hình và các em rất có thể nắm vững cách thức giải trải qua nhiều bài tập.