Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Bạn đang xem: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
2. CÁC TÍNH CHẤT
Định lí 1:
Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.
Tức là, với d
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$ thì bất kỳ một mặt phẳng nào chứa d mà cắt $\alpha$ thì sẽ cắt mặt phẳng đó theo một giao tuyến song song với d.
Tức là:
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$. Nếu từ một điểm M của $\alpha$ dựng đường thẳng a song song với d thì đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $\alpha$.
Tức là:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là:
Định lí 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Qua đường thẳng này, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
Tức là, với a, b chéo nhau thì:
Hệ quả: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Từ một điểm bất kỳ không thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với 2 đường thẳng đã cho.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$ ta chứng minh d không nằm trong $\alpha$ và song song với một đường thẳng a chứa trong $\alpha$.
Chú ý: Nếu a không có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng $\beta$ chứa d và nhận a làm giao tuyến của $\alpha$ và $\beta$.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta$ABD và $\Delta$ACD. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1:
Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD.
Trong $\Delta$ABD, ta có ngay:
Trong $\Delta$ACD, ta có ngay:
Từ đó, ta lần lượt có:
Cách 2:
Gọi E là trung điểm của AD.
Trong $\Delta$ABD, ta có ngay:
Trong $\Delta$ACD, ta có ngay:
Từ đó, ta có:
Vì BC thuộc (BCD) và (ABC) nên $G_{1}G_{2}$ // (BCD) và $G_{1}G_{2}$ // (ABC).
Ví dụ 2: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Gọi P là trung điểm của SA.
a. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b. Chứng minh rằng SB song song với (MNP).
c. Chứng minh rằng SC song song với (MNP).
d. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta$ABC và $\Delta$SBC. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với (SAD).
Giải
a. Trong hình bình hành ABCD, ta có MN là đường trung bình, do đó:
MN // BC $\subset$ (SBC) MN // (SBC).
MN // AD $\subset$ (SAD) MN // (SAD).
b. Trong $\Delta$SAB, ta có MP là đường trung bình, do đó:
SB // MP $\subset$ (MNP) SB // (MNP).
c. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta có:
Kx // AD // MN.
Giả sử Px cắt SD tại Q, suy ra Q là trung điểm SD.
Trong $\Delta$SCD, ta có NQ là đường trung bình, do đó:
SC // NQ $\subset$ (MNP) SC // (MNP).
Cách 2: Gọi O là trung điểm MN, suy ra O là trung điểm AC.
Trong $\Delta$SAC, ta có OP là đường trung bình, do đó:
SC // OP $\subset$ (MNP) SC // (MNP).
d.
Gọi K là trung điểm SB, ta có:
$G_{1}G_{2}$ // MK. (1)
Mặt khác, trong $\Delta$SAB, ta có MK là đường trung bình, do đó:
MK // SA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$G_{1}G_{2}$ // SA $\subset$ (SAD) $G_{1}G_{2}$ // (SAD).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng $\alpha$.
a. Giả sử a // b và b // $\alpha$, có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a với $\alpha$.
Xem thêm: Top 17 Vẽ Lá Cây Đơn Giản Và Cách Điệu Mới Nhất 2022, Bài 3 : Vẽ Trang Trí
b. Giả sử a // $\alpha$ và b // $\alpha$, có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a với b.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG song song với (ACD).
Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a. Gọi O và O" lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO" song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song với (CDEF).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, gọi O, O" lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng:
a. Điều kiện cần và đủ để OO" song song với (BCD) là:
b. Điều kiện cần và đủ để OO" song song với 2 mặt phẳng (BCD) và (ACD) là BC = BD và AC = AD.
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Tìm phương giao tuyến bằng định lí 2 hoặc định lí 3
2. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Có thể hay không cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để:
a. Thiết diện là hình thang
b. Thiết diện là hình bình hành?
c. Thiết diện là hình thoi?
Giải
a. Thiết diện có thể là hình thang, cụ thể nếu mặt phẳng chứa MN (với M $\in$ AB và N $\in$ AC) và song song với AD.
Khi đó, thiết diện được xác định như sau:
Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F.
Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt BD tại F.
Từ đó, suy ra:
NE // MF MNEF là hình thang.
b. Thiết diện có thể là hình bình hành, cụ thể nếu mặt phẳng đi M (với M $\in$ AB) song song với AD và BC.
Khi đó, thiết diện được xác định như sau:
Trong (ABC) kẻ Mt song song với BC và cắt AC tại N.
Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F.
Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt CD tại E.
Khi đó, từ cách dựng ta suy ra MF // NE. (1)
Mặt khác, ba mặt phẳng (MNEF), (ABC) và (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, BC, EF và MN // BC nên MN // EF. (2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện MNEF là hình bình hành.
c. Thiết diện có thể là hình thoi, cụ thể với thiết diện được dựng như trong câu b). Khi đó, để MNEF là hình thoi điều kiện là:
MN = MF. (*)
Ta có:
Khi đó, điều kiện (*) trở thành:
Vậy, mặt phẳng (P) đi qua điểm M (với M $\in$ AB sao cho
) song song với AD và BC sẽ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình thoi.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a, b. Chứng tỏ rằng nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.
Giải
Vì a song song với b nên a và b đồng phẳng.
Giả sử:
a $\cap$ (P) = {M} (a, b) $\cap$ (P) = Mx.
Trong mặt phẳng (a, b) vì a song song với b và a cắt Mx tại M nên b cũng sẽ cắt Mx tại N.
Vậy, ta được b $\cap$ (P) = {N}.
Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi E là điểm nằm trong $\Delta$ABC. Mặt phẳng $\alpha$ qua E song song với các đường thẳng AC và BD. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng $\alpha$. Thiết diện là hình gì ?
Giải
Ta lần lượt có:
Thiết diện được xác bằng cách:
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Mx song song với BD, Mx cắt AC và AD theo thứ tự tại I và N.
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ My song song với SA, My cắt SB tại R.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ Iz song song với SA, Iz cắt SC tại Q.
Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Nt song song với SA, Nt cắt SD tại P.
Khi đó, ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng.
Xem thêm: Loại Cơ Bắp Bám Vào Xương Gọi Là Cơ Gì ? Loại Cơ Bắp Bám Vào Xương Gọi Là Cơ Gì
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB và CD. $\alpha$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC.
