CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN TÂM O

     

Cho nửa đường tròn trung ương O đường kính AB, M là 1 điểm ngẫu nhiên thuộc nửa mặt đường tròn (M không giống A, B). Tiếp tuyến tại M cắt những tiếp con đường Ax và By của nửa con đường tròn kia lần lượt tại C với D.

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn tâm o

a) triệu chứng minh: (widehat COD = 90^0)

b) gọi K là giao điểm của BM cùng với Ax. Triệu chứng minh: (Delta KMO sim Delta AMD)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích s hai tam giác ACM và BDM.


Lời giải của Tự học tập 365

Giải đưa ra tiết:

Cho nửa đường tròn trung khu O đường kính AB, M là một điểm ngẫu nhiên thuộc nửa con đường tròn (M khác A, B). Tiếp con đường tại M cắt những tiếp con đường Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D.

 

*

a) chứng minh (widehat COD = 90^0).

Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM (tính hóa học hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà (widehat AOM) với (widehat BOM) là nhị góc kề bù ( Rightarrow OC ot OD).

Xem thêm: So Sánh Cách Mạng Tháng 2 Và Cách Mạng Tháng 10 Nga, So Sánh Cách Mạng Tháng 2 Và Tháng 10 Nga

( Rightarrow widehat COD = 90^0).

b) call K là giao điểm của BM và Ax. Chứng tỏ (Delta KMO sim Delta AMD)

Xét tứ giác OBDM có (angle OBD + angle OMD = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow ) Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác gồm tổng nhị góc đối bởi 1800)

( Rightarrow angle ABM = angle ODM) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung OM)

Lại bao gồm (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

( Rightarrow angle KAM = angle ODM)

Xét tam giác AMK với tam giác DMO có:

(angle KAM = angle ODM)(cmt)

( Rightarrow angle AMK = angle OMD = 90^0)

( Rightarrow Delta AMK sim Delta DMO,,left( g.g ight) Rightarrow fracMKMO = fracMAMD)

Ta có:

(eginarraylangle KMO = angle KMC + angle CMO = angle KMC + 90^0\angle AMD = angle AMB + angle BMD = angle BMD + 90^0endarray)

Mà (2 góc đối đỉnh)

Nên (angle KMO = angle AMD)

Xét tam giác KMO và tam giác AMD có:

 

( Rightarrow Delta KMO sim Delta AMD,,left( c.g.c ight))

c) Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.

Ta dễ dàng chứng minh được (Delta ACM sim Delta BOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_ACMS_OBM = fracAC^2R^2 = fracAM^2BM^2)

Lại có (S_OBM = frac12S_MAB Rightarrow S_ACM = frac12S_MAB.fracMA^2MB^2) 

Tương trường đoản cú (Delta BDM sim Delta AOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_BDMS_AOM = fracBD^2R^2 = fracBM^2AM^2)

Lại gồm (S_AOM = frac12S_MAB Rightarrow S_BDM = frac12S_MAB.fracBM^2AM^2)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12S_MABfracAC^2 + BD^2R^2)

(Delta MAB sim Delta MCD,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_MABS_MCD = fracAB^2CD^2 Rightarrow S_MAB = S_MCD.frac4R^2CD^2 = frac12R.CD.frac4R^2CD^2 = frac2R^3CD)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12.frac2R^3CD.fracAC^2 + BD^2R^2 = R.fracAC^2 + BD^2CD)

Ta tất cả (AC = CM;,,BD = BM;,,CD = cm + DM)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta bao gồm (left( CM + DM ight)^2 le 2left( CM^2 + DM^2 ight) Rightarrow fracCM^2 + DM^2left( CM + DM ight)^2 ge frac12)

(eginarrayl Rightarrow fracCM^2 + DM^2CM + DM ge frac12left( CM + DM ight) = frac12CD ge frac12AB = R\ Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM ge R^2endarray)

Dấu bằng xẩy ra ( Leftrightarrow left{ eginarraylCM = DM\CD = ABendarray ight.) , lúc đó M là điểm ở chính giữa của cung AB.

Xem thêm: Các Ví Dụ Về Bài Toán Quản Lý Là Gì Cho Ví Dụ, Tin Học 12 Bài 1: Một Số Khái Niệm Cơ Bản

Vậy (left( S_ACM + S_BDM ight)_min = R^2 Leftrightarrow M) là điểm ở vị trí chính giữa của cung AB.