BẤT ĐẲNG THỨC COSI 3 SỐ

     

Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số ko âm được Trung vai trung phong Gia sư Tiến Bộ phân chia sẻ với bạn đọc.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi 3 số

*Tổng quát: mức độ vừa phải cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng vừa phải nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng mức độ vừa phải nhân khi và chỉ lúc n số đó bằng nhau.

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Bất đẳng thức Cosi mang đến 2 số ko âm:

Dấu “=” xảy ra khi với chỉ khi

*

Bất đẳng thức đúng với hoặc .

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:

*

*

*
(vì
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="57" style="vertical-align: -4px;"> luôn luôn đúng)

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀

*
dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số ko âm:

*
abc" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="36" width="134" style="vertical-align: -12px;">

Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ lúc

Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc .

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:

Đặt:

*
a,y=sqrt<3>b,z=sqrt<3>c" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="187" style="vertical-align: -4px;">

Suy ra:

*

Suy ra:

*

Bất đẳng thức được quy về:

*

*

*
-3xy(x+y+z)ge 0} ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="470" style="vertical-align: -11px;">

*

*

*

*
-3 x y(x+y+z) geq 0 ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="465" style="vertical-align: -7px;">

*

*

*

*
geq 0,(forall x, y, z geq 0)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="472" style="vertical-align: -7px;">

*
ge 0,(forall x,y,zge 0)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="474" style="vertical-align: -11px;">

Dấu “=” xảy ra khi

*
tương đương .

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d ko âm

Bất đẳng thức Cosi mang lại 4 số không âm:

*
abcd" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="36" width="175" style="vertical-align: -12px;">

Dấu “=” xảy ra khi với chỉ lúc

*

Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc hoặc

*
.

Xem thêm: Công Thức Nào Sai Với Tên Gọi, Đề Kiểm Tra 45 Phút Lần 2 Học Kì I

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:

*
abcd" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="309" style="vertical-align: -3px;">

*

Thay:

*

Ta được bất đẳng thức Cosi mang đến 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

*
:
*
x_1x_2x_3x_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="267" style="vertical-align: -12px;">

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

*

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương:

*
thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với số thì nó cũng đúng với

*
số.

Ta tất cả thể chứng minh đơn giản vì:

*
x_1cdot x_2ldots x_n+nsqrtx_n+1cdot x_n+2ldots x_2nge 2nsqrt<2n>x_1cdot x_2ldots x_2n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="40" width="582" style="vertical-align: -5px;">

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với là một lũy thừa của 2.

Xem thêm: Unit 2 Lớp 7: Looking Back Lớp 7 Trang 24 Unit 2 Tiếng Anh 7 Mới

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

*
x_1cdot x_2ldots x_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="295" style="vertical-align: -5px;">

Chọn:

*

*
x_1cdot x_2ldots x_n-1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="232" style="vertical-align: -5px;">

Đây đó là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta bao gồm đpcm.